Teoría de Conjuntos
Cuando en
el siglo xlx el análisis adquirió cierto auge, comenzó a ocuparse de problemas
profundos y difíciles. Se sintió entonces necesitado de una base sistemática y
cuidadosamente razonada en la que apoyarse. Estas necesidades del análisis son
el origen de la moderna teoría de conjuntos, que Cantor desarrolló como una
rama autónoma de las matemáticas.
Sobre la
base de estas ideas se abrió un nuevo capítulo de análisis, el de llamada
teoría de las funciones de variable real; pero además, las ideas generales de
la Teoría de conjuntos penetraron en todas las ramas de la matemática, dando
lugar a una nueva etapa en el desarrollo de ésta.
CONJUNTOS
Noción de conjunto
En
matemática, se dice que un concepto es primario cuando no es posible definir
lo utilizando otros más sencillos. Así si se tratase de definir
el concepto de conjunto se diría que es una agrupación cualquiera de objetos, o una colección, o
una reunión…; sin embargo, los términos <<agrupación>>,
<<colección>> o <<reunión>> conceptos
primarios.
Forman un conjunto, por ejemplo:
Los
objetos que hay sobre la mesa de trabajo.
Los
nombres de los días de la semana.
Los
discos de una discoteca.
Los
jugadores de un equipo de fútbol.
Elementos de un conjunto
Cada uno
de los objetos que forman parte de un conjunto se llama elemento de dicho conjunto.
Ejemplos:
→ A es
un elemento del conjunto formado por las letras vocales
→ el
purgar es un elemento del conjunto de los dedos de la mano derecha
Generalmente,
para simbolizar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas y para simbolizar
un elemento, letras minúsculas.
Pertenecía
Cuando es
un elemento forma parte de un conjunto, se dice que pertenece (£) al conjunto y, en caso contrario, que no pertenece (Ɇ).
g £ G se
lee << g pertenece a G>>
h Ɇ G
se lee <<h no pertenece a G>>
Definición de conjunto
Un
conjunto se dice que está bien definido cuando se puede determinar, sin ningún
error, cuáles son los elementos que lo forman.
Un
conjunto puede definirse de dos maneras por extensión y por compresión.
A) Por extensión: nombrado todo y cada uno de los elementos que lo forman. Para escribirlo,
se encierra los elementos entre llaves y separados por coma:
Ejemplo:
V= {a, e, i, o, u}
y se lee
<< V es el conjunto formado por la letra a, e, i, o, u>>.
B) Por compresión: Nombrando una propiedad que cumplan todos los elementos del conjunto y
sólo ellas.
Propiedad
característica de un conjunto
A la
propiedad que define un conjunto se llama propiedad característica del conjunto.
El
conjunto del ejemplo anterior, definido por compresión, se escribe:
V = {x / x es letra vocal}
y se lee:
<< V es el conjunto de los elementos x, tal que x es letra vocal>>
El
símbolo / se lee <<tal que>>.
En
general, si p es la propiedad característica de un conjunto A, se escribe
A = {× / × posee o cumple la propiedad p} o bien,
A = {elementos que cumplen la propiedad p}
Ejemplos:
1. El conjunto de personas que viven en una ciudad H se define por
compresión:
A = {×/ × = persona que vive en la ciudad H} =
= {personas que viven en la ciudad H}
Para
definirlos por extensión sería necesario nombrar a todas las personas que viven
en la ciudad H, una por una, lo cual, obviamente, es complicado.
2. El conjunto formado por una pera, un bolígrafo y un canario, se define
mejor por extensión:
B = {pera, bolígrafo, canario},
Pues para
definirlo por compresión sería necesario buscan los elementos que cumplan los
tres elementos y sólo ellos.
3. El conjunto de provincias que integran la Comunidad Autónoma de Aragón
puede definirse de las dos formas:
Extensión: A = {Zaragoza, Huesca, Teruel}
Compresión: A = {× / × es provincia de la Comunidad Autónoma de Aragón}
A veces
un conjunto con muchos elementos se expresa por extensión citando sólo algunos
de ellos y sustituyendo al resto por puntos suspensivos (llamado elipsis) indicando
que hay más elementos y que siguen las normas de los anteriores.
Ejemplos:
1. El conjunto de los números pares se puede expresar:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,}
2. El conjunto de los números impares menores que 100 se podría escribir así:
I = {1, 3, 5, 7, ..., 97, 99}
Conjunto unitario
Los
conjuntos que tienen un solo elemento se llaman conjunto unitario.
Así, el
conjunto T de los satélites naturales de la Tierra es un conjunto unitario
porque solo tiene un elemento: la Luna.
Cardinal de un conjunto
En un
conjunto cualquiera A, se llama cardinal del conjunto al número de sus
elementos.
El
cardinal del conjunto I de países que integran la
península ibérica es un conjunto binario porque tiene dos elementos, España y
Portugal:
Conjunto vacío
Si un
conjunto no tiene ningún elemento se llama conjunto vacío.
Por
ejemplo, el conjunto M de meses que en 1988 tuvieron sólo 28 días es un
conjunto vacío, porque 1988 fue un año bisiesro.
El
conjunto esta vacio se representa por { } o por Ø.
Conjuntos finitos e infinitos
Un
conjunto es finito (tiene fin) si sus elementos se pueden contar.
El conjunto
A = {a, e, i, o, u} es finito
Un
conjunto es infinito (no tiene fin) si sus elementos no se pueden contar.
El
conjunto de los números pares, el de los números naturales, el de los números
enteros, el de los números racionales, son todos conjuntos infinitos.
Representación grafica de un
conjunto
Para
representar conjuntos se utilizan los diagramas Venn. Los elementos se
representan por puntos o cruces y alrededor ellos se traza una línea cerrada.
Los elementos que están dentro de la línea pertenece al conjunto y los que
pertenecen al conjunto.
Cuantificadores
a) Cuantificador existencial: se utiliza para expresar la existencia de al
menos un elemento que cumple una condición o propiedad.
Se
representa por símbolo Ǝ, y se lee <<existe al menos>>.
Así, para
que en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, existen elementos que son
pares, se escribiría
Ǝ × £ A / × =
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